6.设f为自然数，当n取遍一切自然数时，证明：f^n所构成的末三位数字序列是周期变化的，即存在两个自然数s,t,使对一切不小于s的自然数m,f^m与f^（m+t）的末三位数相同。

证明：用an表示f^n的末三位数，这里的an是一个“广义三位数”，即允许012，003之类的数出现。因为广义三位数的每一位数字只有0，1，2，…，9这10种取法，故此不同的广义三位数只有10×10×10=1000个。

在前1001个广义三位数a1,a2,…,a1001中，必定有两个数是相等，不妨设为

as=a(s+t) (s,t是自然数)，也就是说f^s与f^(s+t)的末三位数相同，所以

f^(s+t)-f^s=f^s[f^(t-1)]是1000的倍数。故此对一切自然数m>=s,所以f^(m+t)-f^m=f^m(f^t-1)=f^(m-s)•[f^s(f^t-1)]也是1000的倍数，因此f^m与f^(m+t)具有相同的末三位数。

7.求1996^2000的末两位数。

解：1996^2000与6^2000具有相同的个位数，即是6.我们现在先来计算1996^2000-6^2000的十位数。

u[1/10(1996^2000-6^2000)]

=u[1/10(1996-6)(1996^1999+1996^1998×6+…+1996×6^1998+6^1999）]

=u[199×（6+6+…+6）]

=u[9×6×2000]=0，即1996^2000与6^2000具有相同的十位数。那么

u[1/10(6^2000-6)]

=u[3/5(6^1999-1)]

=u[3/5(6-1)(6^1998+6^1997+…+6+1)]

=u[3×（6+6+…+6+1）]

=u[3×(6×1998+1)]

=7,

即6^2000的十位数是7.所以1996^2000的十位数也是7.

所以综上所述，1996^2000的末两位数是76.

8.求7^2005的末三位数。

解：7^2005-7^5=7^5(7^2000-1)

=7^5(2401^500-1)

=7^5×2400×(2401^499+2401^498+…+2401+1).

因为u(2401^499+2401^498+…+2401+1)=0,故此7^2005-7^5能被1000整除，所以7^2005的末三位数与7^5的末三位数相同，而7^5的末三位数是807，故此7^2005的末三位数是807.

9.n是正奇数，求证：2^2n[2^(2n+1)-1]的末两位数是28.

证明：欲证2^2n[2^(2n+1)-1]的末两位数是28，只需证明2^2n•[2^(2n+1)-1]-28是100的倍数即可。

因n是正奇数，设n=2k+1,k为非负整数.则2^2n[2^(2n+1)-1]-28

=2^(4k+2)[2^(4k+3)-1]-28

=4{2^4k[2^(4k+3)-1]-7}

=4[16^k(8×16^k-1)-7]

=4(8×16^2k-16^k-7)

=4(16^k-1)(8×16^k+7).

因为15|16^（k-1）,又因为

8×16^k+7=8(16^k-1)+15,

故此15|8×16^k+7,所以

4×15^2|4(16^k-1)(8×16^k+7),

即：100|2^2n[2^(2n+1)-1]-28.

因此，2^2n[2^(2n+1)-1]的末两位数是28.

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